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Superfícies de Riemann e Curvas Algébricas
Uma superfície de Riemann é uma variedade complexa de dimensão 1, e como tal definida sem referência a um espaço ambiente. No entanto, se fôr compacta, uma tal superfície pode ser obtida como o conjunto de zeros de polinómios homogéneos, tornando-se assim uma curva algébrica descrita por equações explícitas num espaço projectivo.
Esta cadeira pretende ser uma introdução a alguns aspectos de geometria algébrica e geometria diferencial complexa, concentrando-se no caso de dimensão 1, onde vários exemplos, cálculos e construções podem ser efectuadas de forma muito concreta.
Pré-requisitos: Análise complexa de uma variável (a geometria, álgebra e topologia necessárias serão desenvolvidas ao longo do semestre).
Programa:
• 1. Topologia das curvas algébricas: Definição de superfície de Riemann e de curva algébrica. Exemplos e propriedades elementares. Classificação topológica das superfícies compactas. Singularidades. Morfismos e a fórmula de Riemann-Hurwitz.
• 2. Cohomologia de feixes: Pré-feixes e feixes; cohomologia de Cech; exemplos e aplicações. Os teoremas de deRham e de Dolbeault.
• 3. Superfícies de Riemann compactas: Definição e equivalência entre feixes invertíveis, divisores e fibrados linha. O teorema de Riemann-Roch; dualidade de Serre. igualdade entre os géneros. Aplicações. Morfismos projectivos e sistemas lineares.
• 4. Espaços moduli: Moduli de fibrados linha e a variedade Jacobiana. Os teoremas de Abel e de Jacobi. Uniformização Fuchsiana de superfícies hiperbólicas. Espaços de moduli e de Teichmüller.
Bibliografia: (A referência principal será [M]):
[M] R. Miranda, Algebraic curves and Riemann surfaces, Amer. Math. Soc., 1994
[K] F. Kirwan, Complex algebraic curves, London Math. Soc., ST 23, 1992
[F] O. Forster, Lectures on Riemann surfaces, Springer Verlag, 1981
[FK] H. Farkas & I. Kra, Riemann surfaces, Springer Verlag, 1980